#φuωkα

Эпиграф: Вступайте в ряды Фурье! © Монстрация

Как известно, в квантовой механике действует принцип неопределённости Гейзенберга, который запрещает нам знать точные значения координаты и импульса одновременно. В действительности это более общий принцип, и ему подчиняется любая волна. Частицы вынуждены следовать ему просто потому, что они тоже волны.

Эту идею даже несложно ухватить интуицией. В самом деле, довольно бессмысленно говорить о частоте волны в конкретный момент времени. Частоту можно измерить только за какой—то период. И чем больший период мы возьмём, тем точнее удастся оценить частоту. Если два мигающих фонарика незначительно отличаются частотой, то вам потребуется довольно много времени, чтобы это заметить.

Математически это выражается через преобразования Фурье, которые, как известно, позволяют разложить произвольную волну в (бесконечную) сумму гармонических волн разной частоты и амплитуды. То есть они превращают функцию от времени в функцию от частоты. Чем больше значение этой функции при заданной частоте, тем больший вклад она вносит в исходную волну.

Так вот, в преобразованиях Фурье есть правило — чем короче волна, тем более широкий спектр частот она имеет. И наоборот, чем уже спектр, тем дольше длится исходная волна. Это можно рассматривать как корреляцию. Короткая волна хорошо аппроксимируется разными синусоидами в достаточно большом диапазоне частот. А чем протяжённее волна во времени, тем хуже периферийные синусоиды её аппроксимируют, то есть спектр подходящих частот сужается.

Но почему мы говорим о времени и частоте, если у Гейзенберга речь идёт о координате и импульсе? Дело в том, что в КМ энергия частицы пропорциональна частоте волны, то есть количеству циклов в единицу времени, а импульс частицы — пространственной частоте или волновому числу, т. е. количеству циклов на единицу расстояния. Заменив время на координату, а обычную частоту на пространственную, мы получим то же самое соотношение в преобразованиях Фурье. Вот вам и формула Гейзенберга в чистом виде.

Более подробно — по ссылке в замечательном видео на канале 3Blue1Brown. Но рекомендую начать с другого видео о непосредственно преобразованиях Фурье на том же канале (тем более что там есть русские субтитры):

Ну и бонус — Veritasium об истории аналоговых компьютеров, выполняющих преобразования Фурье туда и обратно: