7 заметок с тегом

φuωkα

Отрицательная масса

#φuωkα

Эпиграф: И назад ещё дальше попятились (с) Раки-забияки

Если есть у кого-то список контринтуитивных вещей, то где-то наверху него должна стоять отрицательная масса. Разбираться с ней — всё равно, что ездить на велосипеде с обратным рулём, который вместо поворота налево едет направо, и наоборот.

Но постойте, что ещё за отрицательная масса? Разве она существует? Кто-нибудь видел гирю в минус один килограмм? Нет, отрицательных масс пока никто не регистрировал. Но запрещены ли они законами физики? Давайте разберёмся.

Масса является мерой инертности тела, а также гравитационным «зарядом». Иногда говорят отдельно об инертной и гравитационной массе, но принцип эквивалентности, лежащий в основе ОТО, требует, чтобы эти массы совпадали. Если мы не хотим спорить с ОТО, будем придерживаться этого принципа и для отрицательных масс.

Тело отрицательной массы будет иметь отрицательную инерцию. То есть при попытке его затормозить, оно будет, наоборот, разгоняться, а при попытке разогнать — тормозиться. Иными словами, ускорение, создаваемое внешней силой, будет направлено противоположно действию силы. Это видно из второго закона Ньютона: a = F/m. Если масса — отрицательна, то сила и ускорение будут иметь разный знак (см. рисунок). То есть вы не сможете просто взять отрицательный кирпич и унести с собой. Когда вы его потянете к себе, он уедет от вас.

Примерно по той же причине, скорость и импульс отрицательного тела тоже разнонаправлены (p = mv). Несмотря на то, что кирпич едет от вас, его импульс направлен в вашу сторону.

Значит и с гравитацией должно быть также, верно? Если положительные тела падают на Землю, то отрицательные должны улетать наверх? А вот и нет! Тут отрицательная гравитационная и отрицательны инертная массы компенсируют друг друга. Минус на минус даёт плюс. Отрицательные тела будут точно так же падать на Землю, как и положительные. В полном соответствии с принципом эквивалентности.

Смотрите, что происходит. Если мы посчитаем по закону Ньютона (F=GMm/r2) силу, которая будет действовать на отрицательное тело в гравитационном поле Земли, то поймём, что это будет сила отталкивания. Она будет направлена вверх. Но (см. п. 1) мы уже знаем, что тело получит ускорение в сторону, противоположную силе, то есть будет ускоряться вниз, как и обычная положительная масса. Увы и ах, проблема антигравитации так просто не решается.

В целом выходит так. Положительная масса притягивает к себе всю массу, и положительную и отрицательную. Отрицательная масса, наоборот, отталкивает от себя всю, и положительную и отрицательную. Между двумя отрицательными телами возникают силы притяжения, как и между двумя положительными, но эти силы приводят к ускорению отталкивания за счёт отрицательных инертных масс (нижняя картинка).

Забавная ситуация получается, если взять две массы, равные по модулю, но разные по знаку (средняя картинка). Отрицательная масса будет «падать» на положительную, а та будет от неё улетать. И всё это с ускорением. То есть система будет постоянно ускоряться влево, в сторону положительной массы. Без всякого источника внешней энергии. Это лучше чем антигравитация, это вечный двигатель!

Несмотря на всю противоестественность такого поведения, законы сохранения тут не нарушаются. Отрицательная частица имеет отрицательную же энергию (E=mc2), а значит суммарная энергия системы равна нулю, с какой бы скоростью она не двигалась. И то же самое с импульсом. Импульс отрицательной частицы направлен противоположно скорости, а значит суммарный импульс системы тоже всегда равен нулю. Можно показать, что даже если массы не равны по модулю, всё равно энергия и импульс системы сохраняются.

Но что-то же должно нарушаться! Ведь вечных двигателей не бывает? Ну, почти. При таком движении нарушается второй закон термодинамики. Система не стремится к равновесному состоянию, а идёт «вразнос», разгоняясь почти до скорости света. И происходит это за счёт постоянной перекачки энергии от «холодного» к «горячему» — от отрицательного тела к положительному. Термодинамика говорит, что такие процессы не могут происходить спонтанно, без внешней энергии.

Однако. Второй закон термодинамики имеет совсем другой статус, нежели законы сохранения. Это всего лишь эмпирический статистический закон, а не абсолютный строгий запрет. Он основан на статистическом анализе и может нарушаться временно, в спонтанных флуктуациях. В данном случае это не флуктуация, но никакая статистика такому движению не противоречит. Поэтому, кто знает, может когда-нибудь и будем летать на таких нуль-массовых диполях.

В дополнение к этому надо сказать, что собственное время отрицательных частиц направлено в прошлое, а газ из отрицательных частиц, вероятно, будет иметь отрицательную температуру (по Кельвину) и отрицательное давление.

P. S. Не стоит путать отрицательную массу с антиматерией (масса которой положительна) и со сверхсветовыми частицами (тахионами), у которых квадрат массы отрицателен, то есть масса мнимая.

Увидеть смерть Вселенной

#φuωkα

Спойлер: не получится.

В окрестностях чёрной дыры время замедляется, а на горизонте событий и вовсе замедляется до нуля (с точки зрения удалённого наблюдателя-домоседа). То есть, следя за падающим в ЧД космонавтом, домосед увидит, что тот всё медленнее и медленнее будет подлетать к горизонту событий, но пересечения горизонта так никогда и не дождётся. Причём с точки зрения самого космонавта он достигает горизонта событий (и даже падает на сингулярность) за вполне конечное время.

Значит, раз домоседу потребуется бесконечное время, чтобы дождаться пересечения горизонта космонавтом, то, казалось бы, верно и обратное — когда космонавт пересечёт горизонт событий, снаружи для него уже пройдёт бесконечное время, т. е. он увидит все события в ускоренном темпе, всё будущее Вселенной вплоть до её конца за какие-то секунды. Так?

Увы, не так. Даже такой радости падающий космонавт лишён. Но это заблуждение настолько распространено, что попало в несколько научно-популярных книг и даже в примечание переводчика в книге Хокинга «The Universe in a Nutshell».

Однако симметрии тут нет. Взгляните на картинку. Слева — чёрная дыра, справа — домосед A, посередине — космонавт B, вверх направлено время (по часам домоседа). Световые конусы определяют границы возможных траекторий — фотоны двигаются по краям светового конуса, остальные объекты — строго внутри.

Чёрная дыра искривляет пространство-время, и это приводит к тому, что внешняя (правая) граница светового конуса наклоняется влево, в сторону ЧД. Соответственно, исходящие от космонавта фотоны отклоняются вверх и достигают домоседа всё позже и позже по мере приближения к ЧД. Фотон, испущенный непосредственно на горизонте, не достигнет домоседа никогда, т. к. его траектория направлена вертикально вверх, параллельно мировой линии домоседа. В этом и проявляется замедление времени.

А вот с входящими фотонами ничего подобного не происходит. Внутренняя (левая) граница светового конуса никуда не наклоняется и остаётся под 45° хоть рядом с горизонтом, хоть внутри ЧД. А значит, космонавт сможет увидеть максимум то, что прилетело к нему справа снизу по диагонали. Ничего выше этой диагонали, никакого будущего он увидеть не сможет. Только прошлое, как и все.

Чуть подробнее тут. А если хотите с формулами — вам cюда.

2017   φuωkα   время   ото   то   фотон   чёрная дыра

Банда четырёх

#φuωkα

Эпиграф:  — А сколько у нас шпаг? — Четыре! (с) Мушкетёры

Четырёхимпульс (вектор энергии-импульса) — вещь прекрасная во всех отношениях. Это вектор в четырёхмерном пространстве-времени, в котором слились воедино четыре величины — импульс, энергия, скорость и масса:

1) Импульс (p) получается из трёх пространственных компонент четырёхимпульса.
2) Энергия (E) — это временна́я компонента четырёхимпульса. Что намекает, что энергия — это тоже своего рода импульс, только во времени.
3) Скорость (v) определяется направлением четырёхимпульса, т. е. его наклоном к оси времени. В естественных единицах (где скорость света принята за единицу) скорость тела будет просто равна отношению импульса к энергии: v = p/E.
4) Масса (m) — это модуль (длина) четырёхимпульса. Она считается по «теореме Пифагора» для пространства Минковского: m2 = E2 — p2.

Из этих нехитрых соотношений можно сделать много глубоких выводов. Например, что законы сохранения энергии, импульса и массы — суть один и тот же закон сохранения четырёхимпульса. Но тут надо немного разобраться — что и когда сохраняется?

Вектор — это такой направленный отрезок. Если мы нарисуем отрезок на бумажке и будем крутить бумажку, то его направление, высота и ширина будут меняться, но сам отрезок (а в том числе и его длина) будет оставаться неизменным. Точно так же и с четырёхимпульсом — при смене ИСО скорость, импульс и энергия тела будут меняться, но сам четырёхимпульс (а значит и его длина — масса тела) останется неизменным.

Но ведь энергия и импульс должны сохранятся? Они сохраняются со временем, а не при смене ИСО. Каждый наблюдатель согласится, что энергия и импульс замкнутой системы не меняются со временем, хотя каждый оценит их величину по-своему.

Масса системы — единственное, что сохраняется и со временем, и при смене ИСО. Но тут нас ждёт другой подвох, о котором мы уже говорили, — масса системы не равна сумме масс составляющих её объектов. Масса — производная величина, которая рассчитывается через энергию и импульс всей системы по формуле (4). И если с суммированием энергий составляющих всё просто, то с суммированием импульсов — сложнее. Нельзя просто сложить модули импульсов, т. к. они могут быть направлены в разные стороны. Разнонаправленные импульсы сокращаются, что приводит к уменьшению импульса системы по отношению к сумме модулей импульсов составляющих, а следовательно, к росту массы системы. Например, когда массивная частица распадается на два фотона, масса системы двух фотонов равна массе исходной частицы, хотя сумма масс фотонов равна нулю.

Формула (4) прекрасна сама по себе и вполне способна заменить формулу Эйнштейна (E=mc2), тем более, что из неё её можно вывести. А ещё из неё можно вывести «правила поведения» частиц. У фотона m=0, а значит E=p, а значит по формуле (3) скорость всегда равна 1 (скорости света). У массивной же частицы E>p (иначе (4) не будет выполняться), а потому скорость (p/E) всегда меньше 1. Сделать из массивной частицы безмассовую можно только, добавив ей импульс без энергии. Но где его взять? Для этого нужны частицы, у которых p>E. Это как раз тахионы, гипотетические частицы с мнимой массой, движущиеся быстрее скорости света (p/E>1). Но их, по-видимому, не существует.

Очень подробная переводная статья на geektimes. А картинка отсюда.

Про отношения

#φuωkα

Принцип относительности иногда понимается так, что всё мол зависит от наблюдателя, и у каждого наблюдателя есть своя собственная реальность. Либо наоборот, что относительные величины эфемерны, их как бы и нет «на самом деле».

Ан нет. И мир у всех один, и величины существуют объективно. Если какой-то параметр — относительный, это лишь означает, что он является не свойством объекта, а свойством отношения между двумя (или более) объектами.

Например, брат — это не свойство человека, а свойство отношения между людьми. Допустим, Вася Маше брат, а Пете — не брат. Эти их отношения не меняются от точки зрения, они абсолютны. Что меняется, так это показания «наблюдателя». Маша скажет: «Вася мне брат», а Петя: «А мне нет». Но это не значит, что у них разные реальности в голове, а, наоборот, говорит об их адекватности.

Точно так же скорость или энергия — это не свойство тела, а свойство отношения между телами. Взаимная скорость двух тел абсолютна и не меняется от «точки зрения». Когда мы говорим о системе отсчёта, мы ассоциируем себя с каким-нибудь телом, реальным или мыслимым, и становимся частью отношения, а потому можем говорить просто «скорость тела», подразумевая «по отношению к нам».

Возьмите чистый лист и проведите прямую линию. Чему равен её угол? Вопрос бессмысленный, пока вы не проведёте вторую линию. Теперь угол между ними не меняется, как бы вы не крутили листочек. И что характерно — листочек при этом остаётся одним и тем же листочком. На графике расстояния от времени разные углы как раз соответствуют разным скоростям, а смену ИСО можно понимать как (не совсем обычное) вращение листочка. И при смене наблюдателя мир остаётся одним и тем же миром.

Откуда берётся масса?

#φuωkα

Эпиграф: — Ты хочешь ликвидировать время, пространство и материю? — Именно так! © Лем. Кибериада

Недавно мы расправились с пространством-временем, осталось разделаться с материей. Тем более что появился хороший повод в виде объясняющей статьи (en).

Как известно, тело состоит из атомов, и масса тела равна суммарной массе его атомов. Атомы, в свою очередь, состоят из ядра и электронов. Электроны очень лёгкие, поэтому основная масса атома приходится на нуклоны (протоны и нейтроны) в ядре. До этого момента масса подчиняется закону сложения, но если мы заглянем глубже, всё рушится. Каждый нуклон состоит из трёх кварков, но суммарная масса этих кварков даёт лишь несколько процентов от массы протона или нейтрона. Где же прячется остальная (основная) масса?

Её формируют безмассовые частицы глюоны, которыми обмениваются кварки в процессе взаимодействия. Но как безмассовые частицы создают массу (покоя)? Допустим они обладают энергией (как фотоны), но ведь их энергия зависит от системы отсчёта, а масса — не должна зависеть, это инвариантная величина.

Представьте два одинаковых фотона, которые разлетаются в противоположные стороны. Энергия системы равна суммарной энергии двух фотонов. Но их суммарный импульс равен нулю, а значит можно считать, что «двухфотонник» покоится, просто увеличивается в размерах. Стало быть его энергия — это не что иное, как энергия покоя. Она и определяет ненулевую массу «двухфотонника». Таким образом, если в системе частицы не движутся строем в одну сторону, а летают туда-сюда, то их энергия создаёт прибавку к общей массе системы. Это работает как для безмассовых частиц, так и для массивных.

Мы привыкли считать, что материя первична и обладает энергией. Но выходит, что наоборот — материя (масса) есть лишь манифестация энергии, т. к. большинство массы во Вселенной формируется безмассовыми частицами. Эйнштейн так и писал, что масса тела есть мера содержащейся в нём энергии. И его формула сначала выглядела как m = E/c2.

Существует ли пространство-время?

#φuωkα

Когда Эйнштейн работал над общей теорией относительности, он столкнулся с одной проблемой. Получавшаяся геометрия пространства-времени существенно зависела от выбранной системы координат, и сделать её координатно-независимой (ковариантной) никак не получалось.

Выходило так, что с заданными начальными условиями система могла эволюционировать в две разные геометрии (а то и больше), и теория никак не предсказывала, какая именно должна получиться.

Промучившись с этой проблемой целых два года, Эйнштейн наконец решил посмотреть, как будут вести себя частицы в этих разных вариантах пространства. И выяснилось, что точки, где частицы взаимодействуют друг с другом, имеют один и тот же гравитационный потенциал во всех альтернативах, несмотря на то, что траектории частиц выглядели по-разному. Более подробный анализ показал, что никакими наблюдениями отличить одну альтернативу от другой невозможно, а значит они эквивалентны и описывают одну и ту же реальность.

Отсюда он сделал вывод, что точки пространства-времени не имеют физического смысла сами по себе, пока отсутствует материя, которая через эти точки движется. Или другими словами: только встреча в одной точке двух и более материальных объектов имеет физический смысл. Таким образом пространство-время как бы строится из взаимодействий, из причинно-следственных связей.

Не все согласились с такой точкой зрения, и до сих пор ведутся жаркие дебаты. Но, кажется, это очень важный пункт для успешных теорий квантовой гравитации. Например, в теории причинной динамической триангуляции четырёхмерность пространства-времени автоматически возникает из взаимодействия элементарных симплексов — квантов пространства-времени.

Подробная история вопроса (по-английски).

Частицы с массой и без

#φuωkα

Частицы с ненулевой массой не могут разогнаться до скорости света. Происходит это потому, что чем больше скорость частицы, тем меньше ускорение, создаваемое одной и той же силой. Т. е. чем больше скорость, тем труднее частицу дальше разгонять. При приближении к скорости света это ускорение стремится к нулю, какую силу ни приложи. Ну или так: если вдруг частица разгонится до скорости света, то в формуле расчёта энергии произойдёт деление на ноль, и энергия окажется бесконечной. А это, как понимаете, невозможно.

Другое дело частицы без массы. У них, наоборот, ноль (масса) оказывается в числителе, и энергия получается нулевой. А раз нет энергии, то нет и частицы. Единственный способ выкрутиться — это летать со скоростью света. Тогда в формуле будет деление нуля на ноль, а это — неопределённость, результат может быть любым. Поэтому энергия фотона рассчитывается по другой формуле, через частоту, а не через массу, которой нет.

Математическая модель открывает также возможность для гипотетических частиц с мнимой массой — тахионов. Они, наоборот, могут двигаться только со сверхсветовой скоростью. И чем медленнее, тем больше их энергия. Но их существование под вопросом, т. к. они нарушают принцип причинности.