#φuωkα

Эпиграф: Видишь, какой я путник… то есть нет, путаник © Страшила

Если вы освоились с представлением кубита в виде вектора, можно поговорить о квантовой запутанности.

Запутанность квантовых частиц проявляется в том, что их измерения оказываются скореллированы, как бы далеко частицы не находились друг от друга. Например, если у одной частицы мы измерили спин, и он оказался «вверх», то другая как бы мгновенно об этом узнаёт, и её спин становится «вниз».

Важно понимать, что у запутанных частиц коррелируют не внутренние состояния, а именно результаты измерения. Строго говоря, состояние отдельной запутанной частицы вообще отсутствует, во всяком случае в виде вектора. Есть лишь состояние системы двух частиц как целого, и вот его можно представить в виде вектора, но уже в другом, общем базисе. И оно неразложимо на состояния отдельных частиц.

Запутаем два кубита так, чтобы они давали разные значения при измерении в базисе |0⟩ и |1⟩. Получится такой вектор: |ψ⟩ = 1/√2*|0⟩|1⟩ + 1/√2*|1⟩|0⟩. Это суперпозиция двух состояний с равной вероятностью 1/2. В первом состоянии один кубит имеет значение 0, другой — 1, во втором — наоборот.

Чему равно состояние каждого кубита в этой суперпозиции? На первый взгляд кажется, что для обоих кубитов это просто суперпозиция состояний 0 и 1: |φ⟩ = 1/√2*|0⟩ + 1/√2*|1⟩ = |p⟩. Но это иллюзия. Если бы это было так, то оба кубита давали бы всегда один и тот же результат |p⟩ при измерении в базисе |p⟩ и |m⟩. А что будет на самом деле?

Если выразить векторы |0⟩ и |1⟩ через |p⟩ и |m⟩ и подставить в формулу общего состояния, получим: |ψ⟩ = 1/√2*|p⟩|p⟩ — 1/√2*|m⟩|m⟩. То есть они действительно будут всегда давать один и тот же результат, но случайный — либо два |p⟩, либо два |m⟩, а вовсе не только |p⟩. При разложении по любому базису запутанные частицы всегда остаются запутанными.

Так что в системе запутанных частиц бессмысленно искать состояние каждой отдельной частицы. Можно лишь говорить о вероятности получения определённого состояния после измерения либо об исходном состоянии всей системы.

У незапутанных частиц вектор состояния системы можно представить в виде произведения состояний отдельных частиц, у запутанных — нельзя. Это в некотором роде и есть определение запутанности.

Из этого вытекает интересное следствие. Два незапутанных кубита (даже если каждый отдельно в суперпозиции) можно моделировать просто двумя двумерными векторами. А вот если мы хотим моделировать любые их состояния, включая запутанные, нам уже двух двумерных векторов будет недостаточно, придётся заменить их на один четырёхмерный вектор. Для трёх кубитов — один восьмимерный и т. д.

Кроме того, что это не масштабируемо (добавление одного кубита ведёт к перестройке всей модели), так сама размерность вектора растёт экспоненциально. Для 50 кубитов нам потребуется уже петабайт памяти, чтобы просто сохранить одно состояние системы (если каждый коэффициент занимает один байт). А без запутывания мы могли бы обойтись всего ста байтами. Как говорится, почувствуйте разницу.

Так что именно запутанность (а не просто суперпозиция) — один из факторов превосходства квантовых компьютеров над классическими. Доказано, что если в квантовом алгоритме количество запутанных частиц не превышает логарифм от всего числа частиц, то такой алгоритм имеет эффективный классический аналог.

Но что интересно, запутанность — необходимый, но недостаточный критерий квантового превосходства. Другими двумя критериями являются сложность квантовых гейтов и разветвлённость схемы их соединения. Если хотя бы одно из трёх условий не выполняется, квантовый алгоритм можно с тем же успехом заменить классическим.

Возможно, есть и другие условия, которые пока не обнаружены. Поэтому-то так сложно ответить на вопрос, что именно даёт квантовому компьютеру ту мощь, которую ему приписывают. Это ещё открытая область исследований.

#φuωkα

Как известно, квантовый бит (кубит) в отличие от обычного бита может находиться не только в состоянии 0 или 1, но и в суперпозиции этих двух состоянии, то есть как бы содержать оба этих значения в некоторой пропорции. При измерении же происходит схлопывание суперпозиции к одному из базовых состояний 0 или 1.

Состояния кубита удобно представлять в виде векторов. Тогда всякое состояние можно записать в виде линейной комбинации базовых векторов |0⟩ и |1⟩ с соответствующими коэффициентами: |φ⟩ = x*|0⟩ + y*|1⟩. Коэффициенты определяют вероятность соответствующего результата измерения, а именно: вероятность получить ноль будет равна x², а единицу — соответственно y².

Поскольку вероятность получить хоть какой—то результат равна единице, то x² + y² = 1. А это у нас не что иное, как уравнение единичной окружности. Поэтому состояние кубита всегда есть единичный вектор, указывающий на точку единичной окружности.

Например, состояние p на картинке будет записано так: |p⟩ = 1/√2*|0⟩ + 1/√2*|1⟩ ≈ 0.71*|0⟩ + 0.71*|1⟩, и вероятность получить каждый исход в нём будет одинакова и равна 1/2. Это пример суперпозиции, как и любая другая точка на окружности за исключением двух базовых векторов |0⟩ и |1⟩.

Суперпозицию иногда понимают так, что кубит находится сразу в двух состояниях одновременно и параллельно. Однако, вектор |p⟩ ничем принципиально не отличается от вектора |0⟩. Состояние p — это такое же чистое и однозначное состояние, как и состояние 0. Никакого распараллеливания в нём нет.

Например, если 0 кодируется как спин вверх, а 1 — как спин вниз, то p — это просто спин вбок (например, вправо). Это вовсе не означает спина вверх и вниз одновременно. Эффект суперпозиции проявляется лишь при измерении. Если частицы со спином вправо измерять по вертикали, то мы будем получать спины вверх и вниз с равной вероятностью.

Но мы ведь можем измерять их и по горизонтали. Тогда мы всегда будем получать спин вправо и не заметим никакой суперпозиции. Таким образом, наличие/отсутствие суперпозиции зависит от выбора координатных осей, то есть от базиса измерения. В одном базисе суперпозиция есть, в другом — нет.

Таким образом, если мы возьмём другой базис, например, |p⟩ и |m⟩, то при измерении собственно векторов |p⟩ и |m⟩ мы всегда будем получать однозначный результат, а состояние 0 теперь уже будет выглядеть, наоборот, как суперпозиция: |0⟩ = 1/√2*|p⟩ + 1/√2*|m⟩ ≈ 0.71*|p⟩ + 0.71*|m⟩.

Выбор базиса зависит от того, в каком предполагаемом состоянии находится наш кубит. Если мы знаем, что он находится в p или m, но не знаем, в каком именно, то измерять его в базисе |0⟩ и |1⟩ бессмысленно. Это не даст нам никакой информации, мы всегда будем получать чисто случайный результат. А вот измерение в базисе |p⟩ и |m⟩ как раз позволит однозначно различить эти два состояния.

В простенькой интерактивной визуализации по ссылке вы можете поиграться с квантовыми измерениями, меняя состояние частицы и базис прибора.

#ηeωs _{(двухгодичной давности, но тем не менее)}

Все знают, что квантовая механика — штука странная. Меж тем она прекрасно работает и даёт удивительно точные предсказания для микромира. В принципе она должна быть применима и к макрообъектам (и даже ко всей Вселенной). Но проверить это сложно, т. к. на таких масштабах квантовые эффекты усредняются и становятся почти незаметными. Но вот в журнале Nature вышла статья, в которой приводится мысленный эксперимент, который показывает, что применение квантовой теории на макроуровне приводит к ещё более странным результатам.

Первым квантовую механику к макрообъектам применил ещё Шрёдингер. Его знаменитый кот, который сидит в коробке ни жив ни мёртв, известен всем. Но не все знают, что Шрёдингер придумал своего кота и своё уравнение лишь для того, чтобы продемонстрировать, что эта ваша квантовая теория — чушь собачья (или кошачья). Вот, видите, какая ерунда у вас получается! А те посмотрели на уравнение — точно, так и получается, ура, спасибо!

Но на этом учёные не остановились. Юджин Вигнер засунул в коробку уже не просто кота, а целого своего друга физика, и заставил его там делать квантовые измерения. Друг измеряет спин частицы внутри коробки и получает один из двух исходов с равной вероятностью. Сам Вигнер снаружи не знает, что там его друг намерил, стало быть для него вся коробка (включая сознание друга) находится в суперпозиции двух состояний, пока друг не сообщит ему результат своего измерения. Но возникает вопрос — а в какой именно момент произошёл коллапс волновой функции? То ли когда друг измерил частицу, то ли когда сам Вигнер «измерил» коробку?

Но это только кажущийся парадокс. Ведь они измеряют разные системы, стало быть речь идёт о двух разных волновых функциях, у каждой свой собственный коллапс. А то, что сознание находится в суперпозиции, так это ничего страшного, квантовой теории всё равно. Ведь эти сознания не могут взаимодействовать друг с другом и существуют параллельно, а после коллапса остаётся только одно.

Но вот в последней работе таки удалось сформулировать настоящий парадокс. Для этого потребовалось (на единицу) больше коробок, больше друзей и больше вигнеров. Тогда выходит, что при помощи квантовой механики разные наблюдатели могут прийти к противоречащим выводам относительного одного события, например, подбрасывания монетки. Один может решить со 100% уверенностью, что выпала решка, а другой, с той же 100% уверенностью, — что орёл.

Работает это примерно так:

В одной коробке-лаборатории сидит Алиса. У неё есть читерская монета, которая выпадает орлом в два раза чаще, чем решкой. Алиса подбрасывает эту монету и, если выпала решка, то создаёт какую-нибудь частицу в чистом состоянии «спин вниз», а если выпал орёл, то в состоянии суперпозиции «спин вниз и вверх». После чего она отправляет эту частицу своей подруге Синди, которая сидит в другой коробке-лаборатории и измеряет спин полученной частицы.

Снаружи за лабораториями наблюдают мужики. После того как Синди сделает своё измерение, Боб измеряет лабораторию Алисы определённым образом, и сообщает результат Дику, который после этого измеряет лабораторию Синди тоже заранее определённым образом.

Но наши друзья не просто делают измерения. Они ещё используют квантовую теорию, чтобы делать выводы. Если у Алисы выпал орёл, то она знает, что раз частица в суперпозиции, то после её измерения Синди со своей лабораторий тоже окажется в суперпозиции «знаю, что спин вверх — знаю, что спин вниз». В таком состоянии измерение, которое проведёт Дик над лабораторией, может дать только один исход, назовём его «нет». Таким образом Алиса уверена, что Дик получит результат «нет» после своего измерения.

Теперь посмотрим, что знает Синди. Если вдруг она получила спин вверх, то она знает, что у Алисы выпал орёл. Ведь решка всегда приводит к спину вниз. Стало быть, хоть с точки зрения Синди она сама не находится в суперпозиции, она понимает, что Алиса уверена, что её лаборатория в суперпозиции и что у Дика выпадет «нет». Стало быть сама Синди тоже может быть уверена, что у Дика выпадет «нет».

Теперь Боб измеряет лабораторию Алисы таким образом, что если он получил ответ «да» на своё измерение, он может быть уверен, что у частицы был спин вверх. А раз так, то он понимает, что Синди уверена, что Алиса уверена и т. д. и тоже убеждается, что Дик получит ответ «нет». Боб радостно сообщает это Дику.

Дик по той же цепочке убеждается, что сейчас он получит ответ «нет» на своё измерение. Иными словами, когда у Боба выпало «да», все участники уверены, что у Дика будет ответ «нет». Ответы «да-да» никогда не должны получаться. Вот только та же квантовая теория говорит, что вообще-то вероятность получить ответы «да-да» в этом эксперименте не нулевая, а равна 1/12. В результате рано или поздно Дик получит ответ «да» ко всеобщему изумлению.

Что же всё это означает для квантовой теории? А вот что. Это типичная ситуация из серии «выберите любые два пункта»:
C) Объективная реальность существует независимо от наблюдателя.
S) Не бывает двух противоположных исходов одновременно.
Q) Квантовая механика применима к макрообъектам.

Любая интерпретация квантовой механики должна пожертвовать хотя бы одним пунктом. То есть либо разные наблюдатели могут приходить к противоположным выводам по поводу реальности, и это нормально. Либо эти противоположные исходы и в самом деле присутствуют объективно и одновременно. Либо квантовая механика неприменима к макромиру.

Вот только все три пункта для многих казались само собой разумеющимися. Но теперь оказывается, что они несовместимы друг с другом.

Правда, уже есть теории, которые явно отказываются от одного из этих пунктов. Например, QBism явно постулирует, что реальность субъективна. А в многомировой интерпретации каждый из несовместных исходов одинаково реален, просто случается в своей собственной параллельной вселенной. А теории спонтанного коллапса утверждают, что коллапс происходит автоматически без всякого измерения, и он тем вероятнее, чем больше частиц в системе. Поэтому макрообъекты практически не могут быть в суперпозиции.

Но и классической копенгагенской интерпретации теперь не отвертеться. Почему-то авторы пишут, что она становится субъективной, по аналогии с кубизмом. Но мне кажется, что им проще отказаться от третьего пункта, ведь измерительный прибор у них и так считается классической (неквантовой) системой.

Интересный вывод получается про теорию волны-пилота. Если применять её ко всей Вселенной, как того требует сама бомовская механика, то вроде как в ней сохраняются первые два пункта. Из этого авторы делают вывод, что должен нарушаться третий, хотя других аргументов не приводят. Но это выглядит странно. Если Вселенная — не макрообъект, тогда что макрообъект? Впрочем, это может говорить о том, что бомовская механика попросту противоречива сама по себе.

Такие дела.

#φuωkα

Спин электрона — это векторная величина. Он характеризуется направлением, как, например, скорость. Как и скорость, его можно разложить на составляющие по некоторому базису (системе координат). Только в отличие от скорости длина вектора спина всегда равна одному и тому же значению, условной единице.

Например, если ракета летит под углом 45° к земле со скоростью 1 км/с, мы можем измерить её горизонтальную и вертикальную скорости, обе получатся равны 1/√2 км/с. В принципе, то же можно проделать и со спином. Например, пусть спин электрона направлен так же под углом 45°. Мы можем измерить его в горизонтальном направлении. Он получится равен 1/√2. Стоп, нет! Это невозможно, спин не может быть дробным.

Что же тогда мы получим при измерении? Оказывается, для разных электронов мы получим разный результат. Для одних измеренный спин будет направлен вправо (засчитаем его как +1), для других — влево (засчитаем его как -1). Но что интересно — если мы возьмём среднее арифметическое по результатам измерений многих электронов, мы как раз и получим примерно 1/√2.

То же самое будет для других направлений. Если ракета летит вертикально вверх, её горизонтальная скорость равна нулю. Если спин измеряемых электронов направлен вертикально вверх, то их измеренный горизонтальный спин в среднем будет тоже равен нулю, хотя для каждого отдельного электрона мы получим +1 или -1 с вероятностью 50%.

Возникает вопрос, «знает» ли электрон заранее свой спин по каждому направлению или он генерируется случайным образом в момент измерения? В первом случае результат измерения детерминирован неким внутренним состоянием электрона, которое нам неизвестно, но тем не менее присутствует внутри. Во втором случае никакого такого внутреннего состояния нет, а результат измерения истинно случаен.

В этом и заключался спор Эйнштейна и Бора. Эйнштейн выступал за первый вариант, Бор — за второй. И никто из них не надеялся, что спор можно будет разрешить экспериментально. В самом деле, как можно проверить, есть ли у электрона внутреннее ненаблюдаемое состояние? Но вот пришёл Белл и объяснил, что можно. К сожалению, ни Эйнштейн, ни Бор до этого не дожили.

Интересно, что для понимания неравенств Белла не требуется знания сложной математики. Достаточно элементарной теории множеств. Но почему-то в интернете почти нет доступных объяснений. Попробуем этот пробел исправить.

Сначала предположим, что прав Эйнштейн. Спин по каждому направлению уже заранее содержится внутри электрона. При измерении мы просто его узнаём.

Возьмём пачку электронов и измерим спин каждого из них по двум перпендикулярным направлениям A и C. Предсказания квантовой теории нам говорят, что измерения совпадут в 50% случаев. То есть из всех электронов, у которых внутри скрыт спин A+, половина внутри должны иметь спин C+, а вторая половина C-. И наоборот — из C+ электронов половина должна быть A+, а половина A-. Заметим, что это возможно, только когда количество A+ и C+ электронов одинаково.

Такую конфигурацию легко представить при помощи кругов Эйлера (на самом деле диаграмм Венна), Вот, например, для случая, когда A+ и C+ электронов по 8 штук:

Теперь изменим угол и будем измерять спин по направлениям A и B, под 45° друг к другу. Если у нас линейная зависимость вероятности от угла, то мы получим 75% совпадений. Заметим, что снова количество A+ и B+ электронов должно совпадать, чтобы процент работал в обе стороны.

Теперь возьмём направления B и C. Поскольку между ними у нас тоже 45°, то и по ним мы должны получить 75% совпадений. И количество B+ и C+ тоже должно совпадать. В кругах Эйлера это будет выглядеть так:

Теперь важный момент. Если вдруг зависимость от угла у нас нелинейная, то вместо 75% мы получим какой-нибудь другой процент. Но он не может превышать 75%. Это видно по картинке. Если пересечение A+ и C+ составляет половину от B+, то B+ может дополнительно содержать только ещё четверть от A+ и четверть от C+, никак не больше.

То есть 75% — это максимально допустимый процент совпадений под 45° в модели Эйнштейна, когда спин по всем направлениям задан заранее. Для большего процента вы не сможете подобрать скрытые параметры электронов в выборке так, чтобы выполнялись все указанные выше соотношения. Такого множества просто не существует.

Ну и что вы думаете? Квантовая механика требует, чтобы этот процент был больше 75%, а именно в районе 85%.

Это легко посчитать. Помните, мы говорили, что среднее арифметическое спина, измеренного под 45° к исходному, должно равняться 1/√2? Подставим это число в формулу матожидания и найдём вероятность p:
p * (+1) + (1 — p) * (-1) = 1/√2
2p — 1 = 1/√2
p = (1 + 1/√2) / 2 = 0.8535...

Зависимость от угла тут не линейная, а косинусная, т. к. 1/√2 в данном случае — это не что иное как cos 45°.

Так что вы не сможете подобрать такое множество электронов со скрытыми спинами, чтобы в нём A+ электроны пересекались с B+ на 85%, B+ с C+ — тоже на 85%, но при этом A+ с C+ — на 50%. У вас обязательно где-нибудь не сойдётся.

Что говорит о том, что теория скрытых параметров неверна, электрон не содержит внутри информацию о своих спинах по всем направлениям, а при измерении получается по-настоящему случайный результат. И прав был Бор, а не Эйнштейн.

Тут внимательный читатель наверное уже извёлся, доказывая мне, что так не работает. Ведь если мы измеряем один электрон по разным направлениям, то ведь каждое измерение влияет на состояние электрона и может изменять его скрытые параметры. А мы почему-то предполагаем, что они остаются неизменными. Так что наше доказательство — не доказательство.

Совершенно верно, в таком виде — не доказательство. Поэтому вместо последовательных измерений одного электрона производят параллельные измерения на паре спутанных электронов, спин которых всегда противоположен друг другу. Например, один электрон измеряют по направлению A, другой — по направлению B и т. д.

Для каждой пары спутанных электронов выбирают случайную пару направлений — AB, AC или BC, а затем усредняют цифры по каждой паре направлений. Электроны предварительно разносятся на приличное расстояние, а измерения делаются одновременно, чтобы убедиться, что один электрон не успел передать другому информацию со скоростью света.

Проведённые многочисленные эксперименты все подтвердили правильность предсказаний квантовой теории, поэтому либо электроны не содержат скрытых параметров, либо они общаются быстрее скорости света. Вторая опция (сверхсветовое влияние), кстати, тоже допустима, и в частности она используется в теории волны-пилота. Так что не надо забывать, что Белл отменил скрытые параметры не совсем, а только при отсутствии сверхсветового взаимодействия.

P. S. Идею объяснения теоремы Белла я взял из этого видео:

Только у них там всё объясняется на примере поляризации света, а я адаптировал для спина электронов.