#φuωkα

Эпиграф: Видишь, какой я путник… то есть нет, путаник © Страшила

Если вы освоились с представлением кубита в виде вектора, можно поговорить о квантовой запутанности.

Запутанность квантовых частиц проявляется в том, что их измерения оказываются скореллированы, как бы далеко частицы не находились друг от друга. Например, если у одной частицы мы измерили спин, и он оказался «вверх», то другая как бы мгновенно об этом узнаёт, и её спин становится «вниз».

Важно понимать, что у запутанных частиц коррелируют не внутренние состояния, а именно результаты измерения. Строго говоря, состояние отдельной запутанной частицы вообще отсутствует, во всяком случае в виде вектора. Есть лишь состояние системы двух частиц как целого, и вот его можно представить в виде вектора, но уже в другом, общем базисе. И оно неразложимо на состояния отдельных частиц.

Запутаем два кубита так, чтобы они давали разные значения при измерении в базисе |0⟩ и |1⟩. Получится такой вектор: |ψ⟩ = 1/√2*|0⟩|1⟩ + 1/√2*|1⟩|0⟩. Это суперпозиция двух состояний с равной вероятностью 1/2. В первом состоянии один кубит имеет значение 0, другой — 1, во втором — наоборот.

Чему равно состояние каждого кубита в этой суперпозиции? На первый взгляд кажется, что для обоих кубитов это просто суперпозиция состояний 0 и 1: |φ⟩ = 1/√2*|0⟩ + 1/√2*|1⟩ = |p⟩. Но это иллюзия. Если бы это было так, то оба кубита давали бы всегда один и тот же результат |p⟩ при измерении в базисе |p⟩ и |m⟩. А что будет на самом деле?

Если выразить векторы |0⟩ и |1⟩ через |p⟩ и |m⟩ и подставить в формулу общего состояния, получим: |ψ⟩ = 1/√2*|p⟩|p⟩ — 1/√2*|m⟩|m⟩. То есть они действительно будут всегда давать один и тот же результат, но случайный — либо два |p⟩, либо два |m⟩, а вовсе не только |p⟩. При разложении по любому базису запутанные частицы всегда остаются запутанными.

Так что в системе запутанных частиц бессмысленно искать состояние каждой отдельной частицы. Можно лишь говорить о вероятности получения определённого состояния после измерения либо об исходном состоянии всей системы.

У незапутанных частиц вектор состояния системы можно представить в виде произведения состояний отдельных частиц, у запутанных — нельзя. Это в некотором роде и есть определение запутанности.

Из этого вытекает интересное следствие. Два незапутанных кубита (даже если каждый отдельно в суперпозиции) можно моделировать просто двумя двумерными векторами. А вот если мы хотим моделировать любые их состояния, включая запутанные, нам уже двух двумерных векторов будет недостаточно, придётся заменить их на один четырёхмерный вектор. Для трёх кубитов — один восьмимерный и т. д.

Кроме того, что это не масштабируемо (добавление одного кубита ведёт к перестройке всей модели), так сама размерность вектора растёт экспоненциально. Для 50 кубитов нам потребуется уже петабайт памяти, чтобы просто сохранить одно состояние системы (если каждый коэффициент занимает один байт). А без запутывания мы могли бы обойтись всего ста байтами. Как говорится, почувствуйте разницу.

Так что именно запутанность (а не просто суперпозиция) — один из факторов превосходства квантовых компьютеров над классическими. Доказано, что если в квантовом алгоритме количество запутанных частиц не превышает логарифм от всего числа частиц, то такой алгоритм имеет эффективный классический аналог.

Но что интересно, запутанность — необходимый, но недостаточный критерий квантового превосходства. Другими двумя критериями являются сложность квантовых гейтов и разветвлённость схемы их соединения. Если хотя бы одно из трёх условий не выполняется, квантовый алгоритм можно с тем же успехом заменить классическим.

Возможно, есть и другие условия, которые пока не обнаружены. Поэтому-то так сложно ответить на вопрос, что именно даёт квантовому компьютеру ту мощь, которую ему приписывают. Это ещё открытая область исследований.

#φuωkα

Как известно, квантовый бит (кубит) в отличие от обычного бита может находиться не только в состоянии 0 или 1, но и в суперпозиции этих двух состоянии, то есть как бы содержать оба этих значения в некоторой пропорции. При измерении же происходит схлопывание суперпозиции к одному из базовых состояний 0 или 1.

Состояния кубита удобно представлять в виде векторов. Тогда всякое состояние можно записать в виде линейной комбинации базовых векторов |0⟩ и |1⟩ с соответствующими коэффициентами: |φ⟩ = x*|0⟩ + y*|1⟩. Коэффициенты определяют вероятность соответствующего результата измерения, а именно: вероятность получить ноль будет равна x², а единицу — соответственно y².

Поскольку вероятность получить хоть какой—то результат равна единице, то x² + y² = 1. А это у нас не что иное, как уравнение единичной окружности. Поэтому состояние кубита всегда есть единичный вектор, указывающий на точку единичной окружности.

Например, состояние p на картинке будет записано так: |p⟩ = 1/√2*|0⟩ + 1/√2*|1⟩ ≈ 0.71*|0⟩ + 0.71*|1⟩, и вероятность получить каждый исход в нём будет одинакова и равна 1/2. Это пример суперпозиции, как и любая другая точка на окружности за исключением двух базовых векторов |0⟩ и |1⟩.

Суперпозицию иногда понимают так, что кубит находится сразу в двух состояниях одновременно и параллельно. Однако, вектор |p⟩ ничем принципиально не отличается от вектора |0⟩. Состояние p — это такое же чистое и однозначное состояние, как и состояние 0. Никакого распараллеливания в нём нет.

Например, если 0 кодируется как спин вверх, а 1 — как спин вниз, то p — это просто спин вбок (например, вправо). Это вовсе не означает спина вверх и вниз одновременно. Эффект суперпозиции проявляется лишь при измерении. Если частицы со спином вправо измерять по вертикали, то мы будем получать спины вверх и вниз с равной вероятностью.

Но мы ведь можем измерять их и по горизонтали. Тогда мы всегда будем получать спин вправо и не заметим никакой суперпозиции. Таким образом, наличие/отсутствие суперпозиции зависит от выбора координатных осей, то есть от базиса измерения. В одном базисе суперпозиция есть, в другом — нет.

Таким образом, если мы возьмём другой базис, например, |p⟩ и |m⟩, то при измерении собственно векторов |p⟩ и |m⟩ мы всегда будем получать однозначный результат, а состояние 0 теперь уже будет выглядеть, наоборот, как суперпозиция: |0⟩ = 1/√2*|p⟩ + 1/√2*|m⟩ ≈ 0.71*|p⟩ + 0.71*|m⟩.

Выбор базиса зависит от того, в каком предполагаемом состоянии находится наш кубит. Если мы знаем, что он находится в p или m, но не знаем, в каком именно, то измерять его в базисе |0⟩ и |1⟩ бессмысленно. Это не даст нам никакой информации, мы всегда будем получать чисто случайный результат. А вот измерение в базисе |p⟩ и |m⟩ как раз позволит однозначно различить эти два состояния.

В простенькой интерактивной визуализации по ссылке вы можете поиграться с квантовыми измерениями, меняя состояние частицы и базис прибора.